Combination Sum

update Jul 21, 2017 17:58

Given a set of candidate numbers (C) and a target number (T), find all unique combinations in C where the candidate numbers sums to T.

The same repeated number may be chosen from C unlimited number of times.

Notice

All numbers (including target) will be positive integers.
Elements in a combination (a1, a2, … , ak) must be in non-descending order. (ie, a1 ≤ a2 ≤ … ≤ ak).
The solution set must not contain duplicate combinations.

Example

Given candidate set [2,3,6,7] and target 7, a solution set is:

[7]
[2, 2, 3]

Basic Idea:

整个程序肯定是Subsets的框架，但是又有一些细节需要注意。

题目说每个数字可以使用多次，隐含了重复元素其实是没有意义的，所以我们可以先去重。去重的方法类似于quick sort中的partition函数，2 pointers。
如何实现多次使用某个元素呢？只要在dfs传递参数时传递 i 而不是 i + 1 即可。

Python Code:

    class Solution:
        # @param candidates, a list of integers
        # @param target, integer
        # @return a list of lists of integers
        def combinationSum(self, candidates, target):
            if target <= 0: return [[]]
            if not candidates: return [[]]
            res = []
            # 先排序，去重，因为每个元素可以使用多次，所以可以放心去重
            nums = self.removeDuplicates(candidates)
            self.helper(nums, 0, [], res, target)
            return res

        # core function
        def helper(self, nums, pos, path, res, remainSum):
            # int[] nums, int pos, list<int> path, list<list<int>> res, int remainSum
            # return: void
            if remainSum == 0:
                res.append(path[:])
                return
            for i in range(pos, len(nums)):
                if nums[i] > remainSum: break # 因为升序排列
                path.append(nums[i])
                # 这里用 i 而不是 i + 1 是因为可以重复用一个数
                self.helper(nums, i, path, res, remainSum - nums[i])
                del path[-1]


        # 排序并去重    
        def removeDuplicates(self, arr):
            # int[] arr, return: void
            arr.sort()
            i = 0
            for j in range(len(arr)):
                if arr[i] != arr[j]:
                    arr[i + 1] = arr[j]
                    i += 1
            return arr[: i + 1]

update Jan 9, 2017 15:35

Update: 新的思考(better solution)

首先我们分析一下之前这种方法的时间空间复杂度。之前的dfs算法中，一共会有 target / min(candidates) 层，每一层会有 len(candidates) 个分支，如果 input 的 target sum 非常大，会有很深的递归深度，同时也会有很高的时间复杂度（如果input: {1,5,10,25}, target=99, 则最大递归深度为 99 / 1 = 99 层，总时间复杂度 O(4^99)）；

接下来，我们换一种方法考虑（详见 DFS notes）。这次我们如下定义 DFS：

共有 len(candidates) 层；
每层考虑使用一个 candidate 不同的次数；
所以第 i 层有 remain sum / candidates[i] 个分支；

如此，如果按照刚刚的 input，时间复杂度就变为了 O(99^4)，显著降低。递归深度也从99变4，空间复杂度降低。

实现思路：

这种方法实现的时候和之前有了较大的不同，但是只要理解了 dfs 具体在每层做了什么就不难写了。因为我们对于每个数考虑不同次数选用它，在dfs中一定会有一个 for loop 来进行这件事情，同时因为candidates的长度固定，我们可以传入一个int[len(candidates)] times 来记录选取每个 candidates 的次数，框架为:

    for (int i = 0; candidates[pos] * i <= remainSum; ++i) {
        times[pos] = i;
        dfs(pos + 1, remainSum - i * candidates[pos], ...);
    }

基础版本的写法，最终的结果就保存在了 int[] times 中，每个元素对应 candidates 相应元素的次数；

Java Code: (LintCode version)

public class Solution {
    /*
     * @param candidates: A list of integers
     * @param target: An integer
     * @return: A list of lists of integers
     */
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates);
        dfs(candidates, target, 0, new int[candidates.length], res);    
        return res;
    }

    private void dfs(int[] candidates, int remainSum, int pos, int[] times, 
                     List<List<Integer>> res) {
        if (remainSum == 0 || pos == candidates.length) {
            if (remainSum == 0) {
                // convert times array to the occurrence of each element
                List<Integer> lst = new ArrayList<>();
                for (int i = 0; i < times.length; ++i) {
                    for (int k = 0; k < times[i]; ++k) {
                        lst.add(candidates[i]);
                    }
                }
                res.add(lst);
            }
            return;
        }
        // for the pos-th candidate, 检查选择它不同次数 i 的情况，继续向下一个数递归
        for (int i = 0; i * candidates[pos] <= remainSum; ++i) {
            times[pos] = i;
            dfs(candidates, remainSum - i * candidates[pos], pos + 1, times, res);
            times[pos] = 0;
        }
    }
}

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